一、报告题目：偏斜布朗运动驱动的随机微分方程：性质、数值模拟与估计算法, 及其在金融中的应用

二、报告人：廖仲威 副教授

三、时  间：2025年8月24日—8月28日

四、地  点：闻理园A4-305

报告摘要：本短课面向应用统计研究生，将系统介绍偏斜布朗运动（Skew Brownian Motion, SBM）驱动的随机微分方程及其金融应用。课程从局部时表述与界面条件出发，讲解生成元、转移密度与首达时等性质，澄清SBM刻画的是阈值附近穿越方向的不对称而非厚尾性质。随后给出数值模拟与离散观测下的估计（精确/准似然、EM、贝叶斯）。在应用部分，围绕障碍/目标区定价、近阈值希腊敏感度、价差回归与信用距离建模，展示如何将SBM与局部/随机波动率、跳扩散进行对比与校准。对象：应用统计/金融工程/概率论方向研究生；学习目标：掌握SBM与“带局部时项”的SDE的定义与等价表征；理解生成元、刻画函数（scale/speed）、跃点处（阈值处）的界面条件与相应PDE；基本模拟、似然构造与参数估计（含偏斜参数）；

第1讲（2h）｜理论基础：SBM与局部时SDE

1.1 定义与构造：标准SBM的等价定义；带一般系数的偏斜扩散。

1.2 基本性质：强马氏、再生性、停时与首达时；转移密度（标准SBM）；Itô-Tanaka 与局部时。

第2讲（2h）｜数值模拟、离散化与估计

2.1 模拟与离散近似：过零“掷硬币”法；Euler-Maruyama+局部时近似；精度与步长选择；过零频繁时的稳定性与加速技巧。

2.2 离散观测下的似然与MLE：均匀间隔时，标准SBM的闭式过渡密度给出精确似然；一般系数下的准似然/Hermite展开/桥采样思路。

2.3 EM与贝叶斯：EM视角；把“过零方向/是否穿越”视作潜变量；贝叶斯：数据增强（穿越指标、局部时增量）+ MCMC；收敛与先验选择。

2.4 拟合诊断：残差标准化与QQ图、Kolmogorov–Smirnov、过零方向频率对比；重尾判别。

第3讲（2h）｜金融中的建模与定价：阈值与界面条件

3.1 风险中性定价框架下的SBM：界面条件的金融含义：阈值两侧“通量”不对称。

3.2 典型应用场景：带阈值的不对称价格/利率：如零利率下限附近的反弹与渗透不对称；价差/基差回归：统计套利里的“穿零”方向偏置与到达时间；目标区/钉住汇率（target zone）中的非对称穿越；信用/违约距离模型中0边界的“弹性反射”近似。

3.3 校准与比较：用欧式/障碍期权盘面（近障碍与近阈值行权价）校准；与局部波动率/随机波动率/跳扩散对比；误差度量：价格RMSE、希腊字母误差、穿越统计匹配；

第4讲（2h）｜实证与扩展：重尾诊断、模型选择与稳健性

4.1 重尾诊断与误设风险：SBM本身不产生幂律重尾；数据若呈现厚尾：考虑 SBM + 跳扩散 或 SBM + 随机波动率（如Heston/OU-Vol）或t-误差；

4.2 估计细节与稳健性：采样频率与过零判别误差（“未观测穿越”偏误）；阈值位置选择（数据驱动 vs. 经济学先验）；置信区间：Profile Likelihood/Bootstrap；风险度量：VaR/ES 中阈值不对称的影响。

报告人简介：廖仲威，毕业于北京师范大学，曾先后工作于中山大学和华南师范大学，并于澳大利亚The University of Melbourne和加拿大Toronto Metropolitan University担任访问学者。现为北京师范大学文加拿大28 数学系副教授，博士生导师、硕士生导师。研究领域包括：随机过程稳定性；Lévy过程；马氏决策过程与最优化理论；Stein方法；金融数学；经济增长模型；不确定性度量等领域。主持国家自然科学基金，广东省基础与应用基础基金，广东省本科高校教学质量与教学改革工程建设等科研与教学项目。研究工作发表于《SIAM J. Control Optim.》,《J. Optim. Theory Appl.》,《J. Math. Econom.》,《J. Theoret. Probab.》,《Adv. Nonlinear Stud.》,《Internat. J. Control.》,《J. Appl. Probab.》,《Acta Math. Sin.》,《Stoch. Anal. Appl.》等期刊。

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